In fisica quantistica, la funzione d'onda di una particella descrive lo stato quantistico del sistema, cioè tutte le informazioni che possiamo sapere su quella particella, come la posizione, la quantità di moto e l'energia. La funzione d’onda si rappresenta con la lettera greca ψ (psi) e viene utilizzata per calcolare la probabilità di trovare la particella in un certo stato o in una certa posizione.
La funzione d'onda e la probabilità
La funzione d'onda ψ non ci dice direttamente dove si trova una particella, ma ci permette di calcolare la probabilità di trovarla in una determinata posizione. Questa probabilità è data dal valore al quadrato della funzione d'onda, cioè da |ψ(x)|², dove:
- ψ(x) è la funzione d'onda della particella in funzione della posizione x.
- |ψ(x)|² è il modulo al quadrato della funzione d'onda, che rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella nella posizione x.
Quindi, se ψ(x) è grande in un certo punto, significa che c'è una maggiore probabilità di trovare la particella in quella zona. Se ψ(x) è piccolo o nullo, la probabilità è bassa o addirittura nulla.
L’equazione di Schrödinger
La funzione d'onda di una particella è spesso trovata risolvendo l’equazione di Schrödinger, che è l’equazione fondamentale della meccanica quantistica. La versione più semplice di questa equazione (nella meccanica quantistica non relativistica) è:
−ℏ22md2ψ(x)dx2+V(x)ψ(x)=Eψ(x)-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)−2mℏ2dx2d2ψ(x)+V(x)ψ(x)=Eψ(x)
Dove:
- ψ(x) è la funzione d’onda.
- ℏ (h-bar) è la costante di Planck ridotta.
- m è la massa della particella.
- V(x) è il potenziale della particella in funzione della posizione x.
- E è l'energia della particella.
Questa equazione ci permette di determinare la forma della funzione d’onda in base all’energia e al potenziale in cui si trova la particella. Risolvendo l’equazione di Schrödinger, otteniamo ψ(x), che ci consente di capire la distribuzione di probabilità della particella.
Un esempio pratico: la particella in una scatola
Un esempio comune è quello di una particella in una scatola, dove la particella può muoversi liberamente solo tra due pareti (diciamo, a x = 0 e x = L). In questo caso, risolvendo l’equazione di Schrödinger, otteniamo funzioni d’onda del tipo:
ψn(x)=2Lsin(nπxL)\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)ψn(x)=L2sin(Lnπx)
Dove:
- n è un numero intero (detto “numero quantico”) che rappresenta i diversi livelli di energia quantizzati.
- Questa funzione d’onda ci dice che la probabilità di trovare la particella varia nello spazio dentro la scatola e che ci sono punti (detti “nodi”) dove la probabilità di trovare la particella è zero.
L’interpretazione della funzione d’onda
Secondo l’interpretazione di Copenaghen della fisica quantistica, una particella non ha una posizione definita fino a quando non viene misurata. La funzione d’onda ψ(x) rappresenta tutte le possibilità fino a quel momento. Quando si effettua una misurazione, la funzione d’onda “collassa” in un punto preciso, e la particella assume una posizione definita.
In sintesi:
- La funzione d’onda ψ(x) è uno strumento probabilistico: non descrive esattamente dove si trova una particella, ma piuttosto dove è più probabile trovarla.
- La probabilità di trovare la particella in una certa posizione è data dal modulo quadrato della funzione d'onda, |ψ(x)|².
- La funzione d'onda viene trovata risolvendo l'equazione di Schrödinger, che descrive come si evolve il sistema quantistico nel tempo.
